Для того, чтобы понять, что же за предмет играл важную роль, нужно понять, что же такое котильон, а это далеко не всем известно.
Котильоном называется танец, в ходе которого перед дамой встают два кавалера она выбирает одного из них, а отвергнутому она отдает веер. Современные вариации на эту тему тоже есть, где используется не веер, а например цветок.
Ответ: веер.
